Expectativas de retorno, evolução patrimonial e modelos de gestão de carteiras

Por Carlos Heitor Campani, Ph.D.*

* Carlos Heitor Campani é PhD em Finanças, professor pesquisador do Coppead/UFRJ e especialista em investimentos, previdência e finanças pessoais, corporativas e públicas. Ele pode ser encontrado em www.carlosheitorcampani.com e nas redes sociais: @carlosheitorcampani.

Texto originalmente publicado na coluna do autor em Investing.com Brasil.

PUBLICADO COM AUTORIZAÇÃO DO AUTOR

Suponha que eu te ofereça um jogo de investimento que depende do lançamento de uma moeda. Se der cara, você ganha 50% do que investiu; se der coroa, você perde 40%. A figura abaixo ajuda a entender esse jogo com investimento de R$ 100,00:

Qual a decisão correta: aceitar ou não? A resposta é simples: não há decisão correta, pois ela dependerá do nível de aversão a risco do investidor. Apesar do jogo possuir uma expectativa positiva de ganho de 5% (50% x R$150,00 + 50% x R$60,00 = R$ 105,00), essa expectativa vem com boa dose de risco. A chance de perder 40% pode justificar a decisão por não jogar.

Mas e se você pudesse jogar repetidas (e muitas) vezes, sem limite: você jogaria? Pense a respeito. (Pausa para pensar.)

Ao contrário de antes, agora a resposta correta é SIM, independentemente do seu nível de aversão a risco. Isso porque agora, no limite, não há mais risco. Quanto mais vezes você jogar, mais significado (e relevância) tem o fato de a expectativa de ganho neste jogo ser positiva. Pela lei matemática dos grandes números, na medida em que jogamos mais e mais vezes o jogo acima, a expectativa de ganhar 5% fica cada vez mais segura (e, portanto, com menos risco). Por exemplo, se você pudesse jogar a moeda uma vez por minuto durante oito horas, dificilmente perderia dinheiro ao fim desse dia. Se pudesse fazer isso ao longo de uma semana inteira, a chance de ganhar dinheiro seria praticamente 100%. E se ainda pudesse viver disso, seria muito seguro afirmar que você faria, em média, R$ 5,00 a cada lançamento da moeda, perfazendo um “salário” anual muito próximo de R$ 604.800,00 (jogando a moeda uma vez por minuto, durante oito horas por dia e ao longo dos 252 dias úteis ao ano) – nada mal!

Agora imagine que você possa iniciar com R$ 100,00 e deixar o dinheiro rendendo pelo ano todo, de forma que sua riqueza fosse evoluindo a cada minuto e de acordo com o jogo acima (supondo que a moeda seja lançada uma vez por minuto e todo seu montante obtido até ali seja apostado). Teria alguma razão para você mudar sua decisão e não mais jogar esse jogo?

Pausa para pensar…

A resposta natural que muitos dariam aqui seria um “evidente SIM”, porque dado que o jogo anterior é bom, deixar o dinheiro todo investido desta forma soa algo ainda melhor. Mas, de maneira totalmente contraintuitiva, não é! Eu não aconselho ninguém a jogar este segundo jogo. O que direi agora é forte e, muito provavelmente, você não irá acreditar inicialmente: ao final de um único dia (ou seja, após lançar a moeda por 60 x 8 = 480 vezes), há mais de 95% de chances de você estar completamente falido, com menos de um mísero real. Se seguir “investindo” por um ano, você irá falir com 99,9% de certeza. Incrível, ou seja, não crível, inacreditável…

Mas o que mudou no jogo? Um único detalhe mudou: agora você não está sempre jogando com um investimento de R$ 100,00 mas apenas no início. Se a primeira moeda der cara, a segunda aposta será com R$ 150,00; se der coroa, a segunda aposta será com R$ 60,00. Acredite: isso faz toda a diferença!

No jogo anterior, como você sempre apostava a mesma quantia, a média aritmética era a média relevante, de modo que o cálculo anterior funcionava (50% x R$ 150,00 + 50% x R$ 60,00 = R$ 105,00 – R$ 100,00 = R$ 5,00 de lucro médio por rodada). Mas agora, dado que você aposta R$100,00 apenas no início, sua riqueza evolui geometricamente, justificando o uso da média geométrica! Em outras palavras, para o valor esperado ser corretamente calculado neste caso, ele deve se basear na média geométrica: ; o que induz um retorno esperado de -5% para cada lançamento da moeda, ou seja, negativo (perda de aproximadamente 5% por rodada em média). Com isso, ao final de um mísero dia, tendo lançado a moeda 60 x 8 = 480 vezes, sua expectativa seria de terminar o dia com menos que R$ 0,01. Veja como, de maneira sutil, o jogo virou!

Matematicamente, o efeito é simples de explicar. No jogo anterior, a cada novo lançamento da moeda, você poderia sempre ganhar R$ 50,00 ou perder R$ 40,00. Na média, isso resultaria em um ganho de R$10,00 a cada duas rodadas pois a cada R$ 50,00 que você ganha, poderia deixar de lado R$ 40,00 (provisão para próxima perda), ficando com R$ 10,00 de lucro – essa estratégia, ao longo de um tempo suficientemente longo, daria certo. Mas neste último jogo, em média, você ganhará e perderá (em qualquer ordem), mas perderá mais do que ganhará. Vejamos: iniciando com R$ 100,00, ao ganhar, você pula para R$ 150,00 e se agora perder, você reduz seu patrimônio investido para R$90,00 – portanto menos do que os R$ 100,00 iniciais. E isso independe da ordem, pois se começar perdendo, reduz para R$ 60,00 e, ao ganhar, pula para os mesmos R$90,00. Em outras palavras, você estará fadado a perder dinheiro neste jogo caso queira jogá-lo por diversas vezes. A lei dos grandes números é implacável! E a média geométrica, neste caso, também.

E por que o exemplo acima é importante para o mundo de investimentos? Porque as expectativas de retorno são fundamentais em, ao menos, duas situações: para estimar a evolução patrimonial do investidor e para usar como dados de entrada em muitos modelos de gestão de carteiras. Na maioria das vezes, a expectativa de retorno é calculada ou baseada na média aritmética histórica, o que pode ser tão inconsistente quanto seu uso no exemplo acima. Observe que ambas as médias, aritmética e geométrica, são matematicamente corretas e consistentes com suas formulações, mas a depender dos objetivos, apenas uma delas conduzirá ao valor esperado correto. Pense: se os dois jogos de investimento acima forem interpretados como uma metáfora da realidade, qual seria a melhor representação do mundo real? Creio que o segundo, onde a riqueza evolui ao longo do tempo sem mantermos “nossas apostas constantes”, concorda?

Utilizar a clássica média aritmética histórica para descrever o passado de acumulação do patrimônio ou mesmo para estimar evoluções patrimoniais futuras pode se mostrar extremamente inconsistente. Via de regra, a média geométrica histórica (passado) ou a expectativa geométrica (futura) de retorno é a medida correta, em que pese, infelizmente, eu já ter visto muitos investidores, consultores e grandes bancos fazendo contas com médias e expectativas aritméticas. A média aritmética sempre apresentará um retorno histórico e uma evolução patrimonial (artificialmente) super estimada, pois pode ser demonstrado matematicamente que ela jamais será menor ou sequer igual à média geométrica de retornos estocásticos. Seria esta a razão de tamanha simpatia pela média aritmética?

Adicionalmente, em modelos de gestão de carteiras, devemos ter muito cuidado quando precisamos definir a expectativa de retorno de uma ação ou de um ativo em geral. Fazendo um paralelo com o exemplo do segundo jogo de investimento acima, no qual a decisão pela média aritmética levaria o investidor à falência, utilizar a média aritmética de retornos passados como expectativa de retorno futuro pode levar o investidor a escolher ativos que tendem a reduzir sua riqueza ao invés de aumentar. Parece um paradoxo, mas não é, como acabei de mostrar.

Moral da história: devo utilizar a média aritmética ou a média geométrica? Depende do seu objetivo ao calcular a média, ou seja, depende do que você quer verdadeiramente estimar com aquela medida média. Pense e reflita para chegar à resposta correta. Para calcular a média de gols do Gabigol por jogo, a média aritmética se faz precisa (porque os gols são somados, jamais multiplicados). Entretanto, em muitas situações cotidianas do mundo de investimentos, a medida correta será a média geométrica (porque fatores de rentabilidade são multiplicados, não somados).

Neste texto, procurei chamar a sua atenção para um ponto importante, porém raramente discutido no mercado. Concorda? Comente abaixo!

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